Suma de n términos en una progresión aritmética

Una vez que somos capaces de determinar el término general o cualquiera de los términos de una progresión aritmética, sería interesante hallar la suma de n términos consecutivos.
Sabemos que $a\fs1_{i}\fs3=a\fs1_{1}\fs3+(i-1)d$ entonces:
$S\fs1_{n}\fs3=a\fs1_{1}\fs3+a\fs1_{2}\fs3+a\fs1_{3}\fs3+...+a\fs1_{n}\;\Rightarrow\;S\fs1_{n}\fs3=a\fs1_{1}\fs3+a\fs1_{1}\fs3+d+a\fs1_{1}\fs3+2d+...+a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d$
Si colocamos la suma en orden normal e inverso y sumamos se tiene:
$\left.\begin{eqnarray}\;S\fs1_{n}\fs3&=&a\fs1_{1}&\fs3+a\fs1_{1}\fs3+d&+a\fs1_{1}\fs3+2d&+...+&a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d\\S\fs1_{n}\fs3&=&a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d&+a\fs1_{1}\fs3+(n-2)d&+a\fs1_{1}\fs3+(n-3)d&+...+&a\fs1_{1}\\\fs32S\fs1_{n}\fs3&=&2a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d&+2a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d&+2a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d&+....+&2a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d\;\end{eqnarray}\right\.\;$
Como se puede observar la suma de las dos igualdades da lugar a n sumandos idénticos.

$2S\fs1_{n}\fs3=n(2a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d)\;\Rightarrow\;2S\fs1_{n}\fs3=n(a\fs1_{1}\fs3\;+a\fs1_{1}\fs3+(n-1)d)\;\Rightarrow\;2S\fs1_{n}\fs3=n(a\fs1_{1}\fs3\;+a\fs1_{n})$

$\box{\large\;S\fs1_{n}\fs3=\frac{a\fs1_{1}\fs3+a\fs1_{n}}{2}\cdot\;n}$

Halla la suma de los 100 primeros números impares.
La sucesión es 1,3,5,7,.....
$a\fs1_{1}\fs3=1\;y\;d=2\;\Rightarrow\;a\fs1_{n}\fs3=1+(n-1)\cdot2\;\Rightarrow$

$a\fs1_{n}\fs3=2n-1$

$a\fs1_{100}\fs3=2\cdot100-1\;=\;199\;\Rightarrow$

$\;S\fs2_{100}\fs3=\frac{1+199}{2}\cdot100\;=\;10.000$

Dada la sucesión 2,5,8,11,... determina la suma de los términos comprendidos entre el vigésimo y el quincuagésimo, ambos incluidos.

Lo que vamos a hacer es hallar el término de general de la progresión y una vez conocido, vamos a obtener de ahí los datos que nos interesen.

$a\fs1_{1}\fs3=2\;y\;d=3\;\Rightarrow\;a\fs1_{n}\fs3=2+(n-1)\cdot3\;\Rightarrow$

$a\fs1_{n}\fs3=3n-1$

$a\fs1_{19}\fs3=3\cdot19-1\;=\;56\;\;a\fs1_{50}\fs3=3\cdot50-1\;=\;149$

$a\fs1_{20}\fs3+a\fs1_{21}\fs3+a\fs1_{22}\fs3+...+a\fs1_{50}\fs3=S\fs1_{50}\fs3-S\fs1_{19}$

$S\fs1_{19}\fs3=\frac{2+56}{2}\cdot19\;\Rightarrow\;S\fs1_{19}\fs3=29\cdot19\;=\;551$

$S\fs1_{50}\fs3=\frac{2+149}{2}\cdot50\;\Rightarrow\;S\fs1_{50}\fs3=151\cdot25\;=\;3775$

$a\fs1_{20}\fs3+a\fs1_{21}\fs3+a\fs1_{22}\fs3+...+a\fs1_{50}\fs3=S\fs1_{50}\fs3-S\fs1_{19}\fs3\Rightarrow$

$S\fs1_{50}\fs3-S\fs1_{19}\fs3=3775-551=3224$