Progresiones Geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión que se caracteriza porque el cociente entre dos términos consecutivos es una cantidad constante a la que se llama razón $\;r=\frac{a_n}{a_{n-1}}$ , también se puede afirmar que en una progresión geométrica cada término se obtiene del anterior por una cantidad constante $\fs2\;a_n=a_{n-1}\cdot\;r$

Ejemplos de progresiones geométricas son:

$\fs21,2,4,8,16,32,....\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r=2$

$4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},....\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r=\frac{1}{2}$

$\fs21,-3,9,-27,81,-243,....\;\;\;\;\;\;r=-3$

Término general
Teniendo presenta la definición de progresión geométrica se tiene que

$\fs2a_2=a_1\cdot\;r$
$\fs2a_3=a_2\cdot\;r=a_1\cdot\;r\cdot\;r=a_1\cdot\;r^2$
$\fs2a_4=a_3\cdot\;r=a_1+\cdot\;r^2\;\cdot\;r=a_1\cdot\;r^3$
Se intuye la ley que se sigue, de hecho en general se tiene que $\box{\fs2a_n=a_1\cdot\;r^{n-1}}$
Cálculo del término general a partir del primer término y la razón
Si se conoce el primer término de una progresión geométrica y la razón, se deduce fácilmente a partir de la fórmula anterior, veámoslo en un ejemplo.

Determina el término general de una progresión geométrica $\fs2\;1,3,9,27,81,...\;$ .
Se observa que el primer término es $\fs2a_1=1\;y\;r=3$ . Basándonos en la fórmula anterior se tiene que $\fs2a_n=a_1\cdot\;r^{n-1}\;\Rightarrow\;a_n=\;1\cdot3^{n-1}\;\Rightarrow\;a_n=3^{n-1}$

Relaciona los primeros términos de cada progresión geométrica con su término general

1	8,-40,200,-1000,5000,...	$a_n=9$-4$^{n-1}$
2	9,-36,144,-576,2304,...	$a_n=8$-5$^{n-1}$
3	9,45,225,1125,5625,...	$a_n=9$5$^{n-1}$

1	8,-40,200,-1000,5000,...	$a_n=9\(-4\)^{n-1}$
2	9,-36,144,-576,2304,...	$a_n=8\(-5\)^{n-1}$
3	9,45,225,1125,5625,...	$a_n=9\(5\)^{n-1}$