Suma de infinitos términos

Ahora cabe preguntarse si podemos sumar infinitos términos de una progresión geométrica y si esta suma es finita. El valor de la suma dependerá en gran medida de la razón:
$\fs2Si\;|r|\ge1\;entonces\;r^n\longrightarrow\limits_{n\rightarrow\infty}\infty\;\Rightarrow\;S\fs1_{n}\fs3=\frac{a\fs1_{1}\fs2(1-r^{\fs1n})\fs2}{1-r}\longrightarrow\limits_{n\rightarrow\infty}\infty\;$
$\fs2Si\;|r|<1\;entonces\;r^n\longrightarrow\limits_{n\rightarrow\infty}0\;\Rightarrow\;S\fs1_{n}\fs3=\frac{a\fs1_{1}\fs2(1-r^{\fs1n})\fs2}{1-r}\longrightarrow\limits_{n\rightarrow\infty}\;S\fs1_{\infty}\fs3=\frac{a\fs1_{1}\fs2}{1-r}$
Luego en el caso en que la razón en valor absoluto sea menor que 1 se pueden sumar los infinitos términos de una progresión geométrica y esa suma es finita, veámoslo con un ejemplo.

Dada la progresión geométrica $\fs21\fs3,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},....$ . Suma todos sus términos.

Como se puede ver en esta progresión la razón es 1/2 que es menor que 1, luego se pueden sumar todos sus términos.

$S=\frac{a_1}{1-r}\;\Rightarrow\;S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Calcula la suma de los términos de la progresión geométrica donde $a_{3}=\frac{-96}{25}\;y\;r=\frac{4}{5}$

Solucion:

Nota: Para que la solución se de por correcta, en caso de fracción debe estar simplificada y en caso de ser un entero se coloca en el denominador 1