Progresiones aritméticas. Conocidos dos términos

Vamos a realizar distintas operaciones conocidos dos términos cualesquiera de una progresión aritmética.
1. Cálculo de la diferencia
Supongamos que conocemos dos términos $a_i^$ y $a_j^$ en virtud de la fórmula que determina el término general, se tiene que $a_i=a_1+(i-1)d$ y $a_j=a_1+(j-1)d$ . Si restamos ambas igualdades se tiene que $a_i-a_j=(i-1)d-(j-1)d\;\Rightarrow\;$ $a_i-a_j=(i-j)d\;\Rightarrow\;d=\frac{a_i-a_j}{i-j}$

En una progresión aritmética se sabe que $\fs2a_3=9\;y\;a_7=21$ .
Calcula la diferencia en esa progresión.

Teniendo presente lo visto anteriormente, se tiene que

$d=\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{21-9}{7-3}=\frac{12}{4}=3$

2. Cálculo del primer término y el término general
Una vez que tenemos la diferencia, fácilmente se pude determinar el primer término, pues $a_i=a_1+(i-1)d\;\Rightarrow\;a_1=a_i-(i-1)d$ . Una vez que hemos calculado el primer término y la diferencia el cálculo de término general y cualquier otro término de la progresión es inmediato.

En el ejemplo anterior calcula el primer término y el término general
Como ya conocemos la diferencia y uno de los términos calculamos

$\fs2a_1=a_i-(i-1)d\;\Rightarrow\;a_1=a_7-(7-1)d\;\Rightarrow\;$ $\fs2a_1=21-6\cdot3=3$
$\fs2a_n=a_1-(n-1)d\;\Rightarrow\;a_n=3+(n-1)\cdot3\;\Rightarrow$ $\fs2a_n=3+3n-3\;\Rightarrow\;a_n=3n$

Halla el término $a\fs1_{33}$ de la progresión aritmética sabiendo que $a\fs1_3\fs3=-12\;y\;a\fs1_{10}\fs3=-75$

Solución: $a\fs1_{33}$ =