Ángulo entre dos planos

El ángulo que forman dos planos es el mismo que el que forman sus dos vectores normales, como se puede observar en la imagen.
Podría ocurrir que dependiendo de los vectores que se tomen se forme un ángulo u otro, pero ambos ángulos son suplementarios, por lo que tomando valores absolutos nos quedaremos con el menor de los ángulos que se pueden formar.

Así pues, el procedimiento para el cálculo del ángulo es similar al que se realiza con dos rectas.

$Cos(\alpha)=\|\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\|\;\Rightarrow\;\alpha=ArcCos\|\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\|$

Sean los planos $\pi_1\equivx-y+2z-5\;=\;0$ $\pi_2\equiv\left{x=-1-6\lambda+5\mu\\y=3\lambda-2\mu\\z=1-3\lambda+3\mu$
Determina el ángulo que forman.

Lo primero que haremos será determinar el vector normal de cada plano.

En este caso los vectores normales son respectivamente $\vec{n_1}=(1,-1,2)\;y\;\vec{n_2}=(-1,-1,1)$
$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\;=2$

$\fs2|n_1|\;\simeq2.45\;y\;|v|\;\simeq1.73$

$Cos(\alpha)=\|\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\|=\|\frac{2}{2.45\cdot1.73}\|=0.47\;\Rightarrow$ $Arcos(\alpha)=61.87^o$

Halla el ángulo que forman los planos $\pi_1\equiv\;\left{x=1-3\mu\\y=3\lambda-4\mu\\z=2-2\lambda-3\mu$ $\pi_2\equiv\;17x+15y-20z-11\;=\;0$ .

Nota: Expresa el ángulo en grados y lo redondeas a dos cifras decimales, para ello debes arrastrar más decimales en el redondeo de los módulos porque de lo contrario aumenta mucho el error

Solucion: El ángulo es de º